Binetův vzorec (mechanika)

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějme těleso hmotnosti m {\displaystyle m} , jehož polární souřadnice jsou r {\displaystyle r} a φ {\displaystyle \varphi } . Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost u = 1 r {\displaystyle u={1 \over r}} , a má tvar

d 2 u d φ 2 + u = − m L 2 d V d u {\displaystyle {{{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u=-{m \over L^{2}}{{\mbox{d}}V \over {\mbox{d}}u}}}

kde V {\displaystyle V} je potenciál tělesa v centrálním poli, L {\displaystyle L} je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci u ( φ ) {\displaystyle u(\varphi )} řešící Binetův vzorec pro daný potenciál V {\displaystyle V} , trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy r ( φ ) = 1 u ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )={1 \over u(\varphi )}}

Gravitační pole

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

V ( r ) = − α r {\displaystyle V(r)=-{\alpha \over r}}

kde α = G M m {\displaystyle \alpha ={GMm}} je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

d 2 u d φ 2 + u = α m L 2 {\displaystyle {{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u={\alpha m \over L^{2}}}

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

u ( φ ) = α m L 2 ( 1 + ε cos ⁡ ( φ + φ 0 ) ) {\displaystyle u(\varphi )={\alpha m \over L^{2}}(1+\varepsilon \cos(\varphi +\varphi _{0}))}

kde ε , φ 0 {\displaystyle \varepsilon ,\varphi _{0}} jsou integrační konstanty. Konstanta φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

r ( φ ) = p 1 + ε cos ⁡ φ {\displaystyle r(\varphi )={p \over 1+\varepsilon \cos \varphi }}

kde p = L 2 α m {\displaystyle p={L^{2} \over \alpha m}} . To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta ε {\displaystyle \varepsilon } je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem

ε 2 − 1 = 2 L 2 E α 2 m {\displaystyle \varepsilon ^{2}-1={2L^{2}E \over \alpha ^{2}m}}

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

  • elipse, je-li ε < 1 {\displaystyle \varepsilon <1}
  • hyperbole, je-li ε > 1 {\displaystyle \varepsilon >1}
  • parabole, je-li ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1}

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.