Función gamma inversa

En matemática, la función gamma inversa es la función

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$

donde ${\displaystyle \Gamma (z)}$ denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Representación en forma de serie de Taylor

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }$

donde ${\displaystyle \gamma }$ es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente a_k para el término z^k puede ser calculado recursivamente como

${\displaystyle a_{k}=ka_{1}a_{k}-a_{2}a_{k-1}+\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}}$

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{C}(-t)^{-z}e^{-t}dt,}$

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.

Integral a lo largo del eje real

La integración de la función gamma inversa a lo largo del eje real positivo da el valor

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$

el cual es conocido como constante de Fransén–Robinson.

Véase también

• Función de Bessel–Clifford
• Distribución gamma inversa

Referencias

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Archivado el 31 de mayo de 2020 en Wayback Machine.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Weisstein, Eric W. «Gamma Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.