Teoría de la medida geométrica

En matemáticas, la teoría de la medida geométrica (GMT, del inglés geometric measure theory) es el estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos (típicamente en el espacio euclidiano) a través de la teoría de la medida. Permite a los matemáticos extender herramientas desde la geometría diferencial a una clase mucho mayor de superficies que no son necesariamente lisas.

Historia

La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (llamado así por Joseph Plateau) que pregunta si por cada curva cerrada suave en $\mathbb {R} ^{3}$ existe una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite es igual a la curva dada. Tales superficies imitan películas de jabón.

El problema había permanecido abierto desde que lo planteó Lagrange en 1760. Fue resuelto de forma independiente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas. En 1960, Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de las corrientes con la que pudieron resolver analíticamente el problema de la meseta orientable sin restricciones topológicas, lo que generó la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor, después de Fred Almgren, demostró las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón y grupos de pompas de jabón más generales.

Ideas importantes

Los siguientes objetos son centrales en la teoría de medidas geométricas:

Conjuntos rectificables (o medidas de Radon), que son conjuntos con la menor regularidad posible requerida para admitir espacios tangentes aproximados.
Corrientes, una generalización del concepto de variedades orientadas, posiblemente con límite.
Cadenas planas, una generalización alternativa del concepto de variedades, posiblemente con límite.
Conjuntos de Caccioppoli (también conocidos como conjuntos de perímetro localmente finito), una generalización del concepto de variedades sobre las que se aplica el teorema de la divergencia.

Los siguientes teoremas y conceptos también son fundamentales:

La fórmula del área, que generaliza el concepto de cambio de variables en la integración.
La fórmula de coárea, que generaliza y adapta el teorema de Fubini a la teoría de medidas geométricas.
La desigualdad isoperimétrica, que establece que la circunferencia más pequeña posible para un área dada es la de un círculo redondo.
Convergencia plana, que generaliza el concepto de convergencia múltiple.

Ejemplos

La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n- dimensionales de los cuerpos convexos K y L,

\mathrm {vol} {\big (}(1-\lambda )K+\lambda L{\big )}^{1/n}\geq (1-\lambda )\mathrm {vol} (K)^{1/n}+\lambda \,\mathrm {vol} (L)^{1/n},

se puede probar en una sola página y rápidamente produce la desigualdad isoperimétrica clásica. La desigualdad de Brunn-Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; el desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitió establecer conexiones entre geometría y análisis, en la medida en que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como desigualdad de Prékopa-Leindler la geometría parece estar casi completamente ausente.

Véase también

Conjunto Caccioppoli
Fórmula de coárea
Corrientes
Herbert Federer
Curva de Osgood

Referencias

Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960), «Normal and integral currents», Annals of Mathematics, II 72 (4): 458-520, doi:10.2307/1970227 .
Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 . Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 . Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 .
Federer, H. (1978), «Colloquium lectures on geometric measure theory», Bull. Amer. Math. Soc. 84 (3): 291-338, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14462-0 .
Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory), Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308 . Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory), Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308 .
Gardner, Richard J. (2002), «The Brunn-Minkowski inequality», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 (electronic), ISSN 0273-0979, doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, London: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8 . Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, London: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8 .
Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 . Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 . Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 .
Taylor, Jean E. (1976), «The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces», Annals of Mathematics, Second Series 103 (3): 489-539, doi:10.2307/1970949 . .
O'Neil, T.C. (2001), «Teoría de la medida geométrica», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .