Équation de Weierstrass

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En mathématiques, une équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, est une forme simplifiée de l'équation d'une courbe elliptique. La simplification de la forme générale

y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}

à la forme de Weierstrass peut se faire par changement de variable, mais dépend de la caractéristique du corps commutatif K sur lequel la courbe elliptique est définie (c'est-à-dire le corps auquel appartiennent les coefficients ak).

Il y a trois types d'équations de Weierstrass.

  • Si la caractéristique de K est différente de 2 et 3 (ce qui inclut les cas où elle est nulle, par exemple quand K est le corps des réels, des complexes ou des rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme
y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
où a, b sont des éléments de K.
  • Si la caractéristique de K est 3 (par exemple si K est le corps fini à 3r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :
y 2 = x 3 + a x 2 + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax^{2}+b} (cas ordinaire)
y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} (cas supersingulier)
où a, b sont des éléments de K.
  • Si la caractéristique de K est 2 (par exemple si K est le corps fini à 2r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :
y 2 + x y = x 3 + a x 2 + b {\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b} (cas ordinaire)
y 2 + c y = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}+cy=x^{3}+ax+b} (cas supersingulier)
où a, b (respectivement, a, b, c) sont des éléments de K.

Notes et références

  • icône décorative Portail de l’algèbre