Angolo di parallelismo

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In geometria iperbolica, l'angolo di parallelismo è una quantità dipendente da una retta ${\displaystyle R}$ e un punto ${\displaystyle y}$ disgiunto da ${\displaystyle R}$. Indica il minimo angolo che una retta parallela a ${\displaystyle R}$ e passante per ${\displaystyle y}$ forma con la normale a ${\displaystyle R}$ passante per ${\displaystyle y}$.

A differenza di quanto accade nella geometria euclidea, l'angolo di parallelismo non è retto, bensì acuto.

Sia ${\displaystyle R}$ una retta nel piano iperbolico e ${\displaystyle y}$ un punto esterno ad essa. Sia ${\displaystyle N}$ la retta perpendicolare a ${\displaystyle R}$ passante per ${\displaystyle y}$. Sia ${\displaystyle Q}$ una retta passante per ${\displaystyle y}$ e asintoticamente parallela a ${\displaystyle R}$. L'angolo acuto formato dalle rette ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle N}$ è l'angolo di parallelismo di ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle y}$.

L'angolo di parallelismo può essere definito in modo analogo anche in geometria euclidea: in questa geometria, risulta sempre essere un angolo retto ed è quindi meno interessante. In geometria iperbolica, l'angolo ${\displaystyle \theta }$ è invece un angolo acuto, che può variare nell'intervallo aperto ${\displaystyle (0,\pi /2)}$.

Nella geometria iperbolica, le rette parallele a ${\displaystyle R}$ passanti per ${\displaystyle y}$ sono infinite. Queste sono esattamente le rette che formano con la normale ${\displaystyle N}$ un angolo acuto maggiore o uguale a ${\displaystyle \theta }$. Le due rette con angolo di parallelismo ${\displaystyle \theta }$ sono asintoticamente parallele a ${\displaystyle R}$. Tutte le rette con angolo maggiore di ${\displaystyle \theta }$ sono ultraparallele con ${\displaystyle R}$.

L'angolo di parallelismo ${\displaystyle \theta }$ in realtà dipende soltanto dalla distanza ${\displaystyle d}$ fra il punto ${\displaystyle y}$ e la retta ${\displaystyle R}$. Si tratta quindi di una funzione ${\displaystyle \theta (d)}$ definita per ogni valore non negativo di ${\displaystyle d}$. Si tratta di una funzione decrescente. La relazione fra ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle d}$ può essere espressa concretamente con una delle formule seguenti, tutte equivalenti:

• ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-d},}$
• ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\cosh d}},}$
• ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\sinh d}},}$
• ${\displaystyle \cos \theta =\tanh d.}$

Quando la distanza ${\displaystyle d}$ tende a zero, l'angolo di parallelismo ${\displaystyle \theta }$ tende all'angolo retto ${\displaystyle \pi /2}$. Questo fatto è in accordo con il principio seguente: la geometria iperbolica, letta localmente e vista con una lente di ingrandimento, assomiglia alla geometria euclidea (si tratta di un principio generale della geometria riemanniana, valido ad esempio anche nella geometria sferica).

Nelle formule precedenti si è supposto lo spazio iperbolico avente curvatura negativa -1. In uno spazio iperbolico con curvatura negativa arbitraria ${\displaystyle k<0}$, le due quantità sono in relazione secondo la formula seguente:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-{\frac {d}{k}}},}$

• Parallelismo in geometria iperbolica

• (EN) Eric W. Weisstein, Angolo di parallelismo, su MathWorld, Wolfram Research.

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