フェンシェルの双対性定理

数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem）は、ウェルナー・フェンシェル（英語版）の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。

ƒ を Rⁿ 上の真凸函数とし、g を Rⁿ を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、

${\displaystyle \min _{x}(f(x)-g(x))=\max _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p))\,}$

が成り立つ。ここで ƒ ^* は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g _* は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

数学的定理

X と Y をバナッハ空間とし、${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ と ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ を凸函数とし、${\displaystyle A:X\to Y}$ を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

が弱双対性を満たす、すなわち ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$ が成立することを言う。ここで ${\displaystyle f^{*},g^{*}}$ はそれぞれ f,g の凸共役であり、${\displaystyle A^{*}}$ は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$ で与えられる。

f,g および A は次のいずれかを満たす。

1. f と g は下半連続で、${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$。ここで ${\displaystyle \operatorname {core} }$ は代数的内部であり、${\displaystyle \operatorname {dom} h}$ はある函数 h に対する集合 ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$ である。

1. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$。ここで ${\displaystyle \operatorname {cont} }$ は函数が連続であるような点である。

このとき強双対性が成立する。すなわち ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$ となる。${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$ であるなら、順序集合が達成される^[1]。

出典

参考文献

• Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Convex Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4  See page 327.

関連項目

• ルジャンドル変換
• 凸共役性
• モローの定理（英語版）
• ウルフ双対性（英語版）
• ウェルナー・フェンシェル（英語版）