Monoid

Dalam matematik, monoid boleh ditakrifkan sebagai satu pasangan ${\displaystyle (M,*)}$ yang terdiri daripada set ${\displaystyle M}$ dan operasi dedua *, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

• Tutupan: untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a*b}$ juga dalam ${\displaystyle M}$.
• Sekutuan: bagi semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$.
• Identiti: wujud suatu unsur identiti, ${\displaystyle e}$ dalam ${\displaystyle M}$, sehingga untuk semua ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a*e=e*a=a}$.

Monoid yang mematuhi aksiom tambahan songsang merupakan sebuah kumpulan.

Contoh

• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ ialah monoid nombor asli dengan operasi tambah dan unsur identiti 0.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ ialah monoid nombor asli dengan operasi darab dan unsur identiti 1.
• Katakan bahawa Σ ialah suatu set abjad, dan Σ* ialah set bagi semua rentetan yang dibina daripada Σ. Maka Σ* membentuk sebuah monoid dengan operasi penjeraitan. Unsur identiti ialah rentetan kosong. Operasi penjeraitan kadang-kadang ditulis dengan lambang ${\displaystyle +\!\!+}$, dan monoid ini boleh ditulis ${\displaystyle (\Sigma ^{*},+\!\!+)}$.

Lihat juga

• Semikumpulan