Kąt równoległości

Kąt równoległości odpowiadający odległości a {\displaystyle a} – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu A {\displaystyle A} znajdującego się w odległości d {\displaystyle d} od prostej p , {\displaystyle p,} a promieniem r {\displaystyle r} równoległym[1] do prostej p {\displaystyle p} wyprowadzonym z punktu A . {\displaystyle A.} Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez Π ( d ) {\displaystyle \Pi (d)} [2].

Istnieje taka stała R {\displaystyle R} zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli d {\displaystyle d} jest odległością punktu A {\displaystyle A} od prostej p , {\displaystyle p,} to:

Π ( d ) = 2 arctg e − d R {\displaystyle \Pi (d)=2\operatorname {arctg} \,e^{-{\frac {d}{R}}}} [3].
Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu A ; {\displaystyle A;} promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym.

Jeśli B {\displaystyle B} jest takim punktem prostej p , {\displaystyle p,} że odcinek A B {\displaystyle AB} jest prostopadły do p , {\displaystyle p,} to możemy napisać:

Π ( A B ) = ∡ B A M ∞ = ∡ N ∞ A B , {\displaystyle \Pi (AB)=\measuredangle BAM_{\infty }=\measuredangle N_{\infty }AB,}

gdzie punkty M ∞ {\displaystyle M_{\infty }} i N ∞ {\displaystyle N_{\infty }} są punktami w nieskończoności.

Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.

Własności

  • Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:
tgh d R = cos ⁡ Π ( d ) . {\displaystyle \operatorname {tgh} \,{\frac {d}{R}}=\cos \Pi \,(d).}

Wystarczy w tym celu do wzoru

cos ⁡ α = 1 − tg 2 ⁡ α 2 1 + tg 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}

podstawić α = Π ( d ) , {\displaystyle \alpha =\Pi (d),} a następnie skorzystać ze wzoru

tg ⁡ Π ( d ) 2 = e − d R {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\Pi (d)}{2}}=e^{-{\frac {d}{R}}}}

oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez e d R . {\displaystyle e^{\frac {d}{R}}.}

  • Z punktu A {\displaystyle A} można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej p . {\displaystyle p.} Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej p {\displaystyle p} poprowadzonej z punktu A {\displaystyle A} i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt Π ( A B ) {\displaystyle \Pi (AB)} [4].
  • Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: A B N {\displaystyle ABN} i A B M . {\displaystyle ABM.} Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że Π ( A B ) {\displaystyle \Pi (AB)} jest funkcją.
  • Jeśli A B > C D , {\displaystyle AB>CD,} to Π ( A B ) < Π ( C D ) . {\displaystyle \Pi (AB)<\Pi (CD).} Zatem funkcja Π ( x ) {\displaystyle \Pi (x)} jest funkcją różnowartościową[5].
  • Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku A {\displaystyle A} jest równy 2 Π ( A B ) . {\displaystyle 2\Pi (AB).} Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi.
  • lim d → 0 Π ( d ) = π 2 , lim d → ∞ Π ( d ) = 0 {\displaystyle \lim _{d\to 0}\Pi (d)={\frac {\pi }{2}},\lim _{d\to \infty }\Pi (d)=0} [6].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Słowo równoległość należy tu rozumieć w sensie Łobaczewskiego, tzn. chodzi o dwie skrajne proste wśród nieskończenie wielu prostych nie mających wspólnego punktu z prostą daną (S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956, s. 70).
  2. ↑ Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 313.
  3. ↑ Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 404.
  4. ↑ Coxeter, op. cit., s. 313.
  5. ↑ Coxeter, op. cit., s. 314–316.
  6. ↑ Математическая энциклопедия, T. 3, op. cit., s. 404.

Bibliografia

  • Kulczycki S.: Geometria nieeuklidesowa. Warszawa: PWN, 1956.
  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.