Zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli S {\displaystyle S} jest podzbiorem grupy G {\displaystyle G} to podgrupa generowana przez S {\displaystyle S} , oznaczana symbolem ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } jest najmniejszą podgrupą grupy G {\displaystyle G} zawierającą każdy element zbioru S , {\displaystyle S,} czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy S . {\displaystyle S.} Równoważnie ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } to podgrupa tych wszystkich elementów G , {\displaystyle G,} które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów S {\displaystyle S} i ich odwrotności.

Gdy G = ⟨ S ⟩ , {\displaystyle G=\langle S\rangle ,} to mówi się, że S {\displaystyle S} generuje G . {\displaystyle G.} Elementy S {\displaystyle S} nazywa się wtedy generatorami grupy G . {\displaystyle G.} Jeśli S {\displaystyle S} jest zbiorem pustym, to ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } jest grupą trywialną { e } . {\displaystyle \{e\}.}

Jeśli S {\displaystyle S} zawiera tylko jeden element x , {\displaystyle x,} to zwykle pisze się ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } jest podgrupą cykliczną potęg x , {\displaystyle x,} która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grupa ta jest generowana przez x . {\displaystyle x.} O tym, że x {\displaystyle x} generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } jest równe całej grupie G . {\displaystyle G.} Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż x {\displaystyle x} ma rząd równy | G | . {\displaystyle |G|.}

Grupy skończenie generowane

W przypadku, gdy zbiór S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} jest skończony, grupę G = ⟨ S ⟩ {\displaystyle G=\langle S\rangle } nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór S , {\displaystyle S,} to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem S {\displaystyle S} o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

  • Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ ⟨ G ⟩ = G . {\displaystyle \langle G\rangle =G.}
  • Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1, jak i –1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta
⟨ p , q ⟩ = Z . {\displaystyle \langle p,q\rangle =\mathbb {Z} .}
Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.
  • Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
  • Gdy G {\displaystyle G} jest grupą skończenie generowaną oraz N {\displaystyle N} jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa G / N {\displaystyle G/N} jest również skończenie generowana.
  • Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład niech G {\displaystyle G} oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} oraz niech S {\displaystyle S} będzie podzbiorem G {\displaystyle G} składającym się ze wszystkich elementów postaci y n x y − n , {\displaystyle y^{n}xy^{-n},} gdzie n {\displaystyle n} jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa ⟨ S ⟩ ⊆ G {\displaystyle \langle S\rangle \subseteq G} nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Grupy wolne

 Osobny artykuł: grupa wolna.

Podgrupa Frattiniego

 Osobny artykuł: podgrupa Frattiniego.

Element x {\displaystyle x} grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór S {\displaystyle S} zawierający x {\displaystyle x} dalej generuje G , {\displaystyle G,} jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest 0. {\displaystyle 0.} Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w G {\displaystyle G} nazywaną podgrupą Frattiniego.

Przykłady

Grupa elementów odwracalnych U ⁡ ( Z 9 ) {\displaystyle \operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9})} to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z 9 {\displaystyle 9} względem mnożenia modulo 9 , {\displaystyle 9,} tzn. liczb ze zbioru { 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 } {\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}} z arytmetyką modulo 9. {\displaystyle 9.} Siódemka nie jest generatorem U ⁡ ( Z 9 ) , {\displaystyle \operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9}),} gdyż

{ 7 n ( mod 9 ) : n ∈ N } = { 7 , 4 , 1 } , {\displaystyle \{7^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

{ 2 n ( mod 9 ) : n ∈ N } = { 2 , 4 , 8 , 7 , 5 , 1 } . {\displaystyle \{2^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}

Z drugiej strony, dla n > 2 {\displaystyle n>2} grupa symetryczna stopnia n {\displaystyle n} nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje ( 1   2 ) {\displaystyle (1\ 2)} oraz ( 1   2   …   n ) . {\displaystyle (1\ 2\ \dots \ n).} Przykładowo dla S 3 {\displaystyle S_{3}} jest:

e = ( 1   2 ) ( 1   2 ) , ( 1   2 ) = ( 1   2 ) , ( 1   3 ) = ( 1   2   3 ) ( 1   2 ) , ( 2   3 ) = ( 1   2 ) ( 1   2   3 ) , ( 1   2   3 ) = ( 1   2   3 ) , ( 1   3   2 ) = ( 1   2 ) ( 1   2   3 ) ( 1   2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}e&=(1\ 2)(1\ 2),\\(1\ 2)&=(1\ 2),\\(1\ 3)&=(1\ 2\ 3)(1\ 2),\\(2\ 3)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3),\\(1\ 2\ 3)&=(1\ 2\ 3),\\(1\ 3\ 2)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{aligned}}}

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, 1. {\displaystyle 1.} Element 2 {\displaystyle 2} nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,5\}} dla odmiany generuje tę grupę, gdyż ( − 5 ) + 3 + 3 = 1 {\displaystyle (-5)+3+3=1} (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz też

Bibliografia

  • Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Group Generators, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).